Прежде чем перейти к анализу различных этапов решения задачи, выскажем несколько замечаний общего рода. Если педагог стремится научить детей успешно решать задачи, в первую очередь ему необходимо донести до учеников смысл этой деятельности. К примеру, на уроках физики важно показать ученикам, что физическая теория – это упрощенная модель сложной реальности. Настоящая задача для своего решения обязательно требует перехода от реальной действительности к ее модели, то есть выражения этой реальности на языке теории. А после решения – возвращения в эту реальную действительность. На самом деле это весьма сложный процесс. Но если его не касаться, нет смысла вообще затевать подобную работу.
Еще один очень важный момент: при решении задач разного типа могут возникать свои специфические затруднения. Поэтому педагогу следует иметь в своем арсенале «палитру» самых разнообразных задач. И эту «палитру» нужно постоянно расширять, проникая в педагогические возможности каждой задачи. Отметим, что в работе с задачами очень вредят повторы в изложении условий и «сюжетных ходов». Надо чаще менять строение, композицию текста. Иначе дети обходятся угадыванием: на какую формулу данная задача? Пусть в каждой задачке пахнет какой-нибудь новизной.
А тот ли это вопрос?

Решение задачи начинается с ее чтения. Обычно ученик читает задачу не один, а несколько раз, иногда перечитывает отдельные фрагменты. Он вчитывается в текст, чтобы понять суть задачи. Как только достигается достаточно полное, с точки зрения ученика, понимание, текст перестает быть ему нужным (если только не потребуется произвести «ревизию» достигнутого понимания). Теперь ученик не просто помнит задачу, он ее понимает определенным образом. Это важный момент, поскольку понимание может быть и ошибочным. В последнем случае ребенок будет довольно долго пытаться решить «не ту задачу».
На этой стадии вряд ли уместны вопросы: «Поняли ли вы задачу?», «Как вы поняли задачу?». Прямые вопросы трудны для учеников. Часто ученик сам не знает, понял он задачу или нет. Признаваться в непонимании тоже не хочется. Как же помочь ученику избежать неверного понимания? Для этого надо дать школьнику метод, который позволил бы ему действовать самостоятельно и не ошибаться. Еще со времен исследования мышления С.Л.Рубинштейном и его учениками известен простой прием: пересказать условия своими словами (возможно, записать), а потом сравнить пересказ с самой задачей. При сравнении надо обратить особое внимание на то, все ли содержание задачи представлено в вашем пересказе. Надо иметь в виду, что тексты задач весьма короткие, может просто сработать память (вот почему желательно, чтобы ученик некоторое время порешал задачу самостоятельно). Можно также заняться сравнением краткой записи условий, которая обычно делается, с самим текстом. При этом осмысливаются те же моменты: что упущено? И что добавлено? А также – зачем дан тот или иной фрагмент текста.
Исключительно важно точное понимание поставленного в задаче вопроса. В понимании смысла вопросов тоже можно практиковаться. Например, иногда после прочтения задачи бывает полезно спросить ребят: какие другие вопросы можно поставить к этим условиям?
Исходное знание

Давайте теперь более подробно рассмотрим процесс понимания задачи. На что ориентируется ученик при этом, к чему он стремится? Зачастую школьник старается как можно раньше установить, что это за задача, в чем суть заложенного в содержании задачи конфликта, на что опереться при решении. Все шаги по продвижению к решению задачи ученик осуществляет на основе определенной «системы самоорганизации», которая, как правило, им не осознается. Впервые такую систему описал и исследовал немецкий ученый Л.Секей. Он назвал ее «исходное знание». В «системе самоорганизации» переплетаются как информация, полученная в ходе обучения, так и стихийно выработанные правила, алгоритмы действий, подходы к решению.
Так, от учителя школьник получает знания о том, что необходимо «найти и записать», что в задаче «дано», а что является «требованием». Но эти правила работы с задачей в сознании ученика вскоре начинают ассоциироваться с конкретными вещами, что ведет к ориентации на «внешние признаки» и нередко приводит к упущению существенных моментов в условии. К примеру, ученик привычно выписывает все количественные величины, полагая, что качественные детали даются в задаче только «для сюжета».
Кроме выявления условий и требований ученик должен предположить, к какому типу задач относится эта задача, какие законы следует учесть в работе с ней, какие алгоритмы и правила разумно применить при решении. Каждое такое предположение создает некоторую направленность в понимании задачи и заставляет условие задачи понимать определенным образом. При этом отдельные слова текста могут выступать в качестве главных ориентиров, направляющих понимание.
В педагогической практике встречаются простые случаи, когда слово «падает» дает школьнику повод предположить, что «эта задача на "свободное падение”». А слова «до въезда на мост» заставляют увидеть в условии дугообразный мост и достроить задачу, где надо будет искать центростремительное ускорение, позволяющее телу двигаться по дуге. Заметьте, в условии задачи не было ни слова о том, что мост дугообразный. Но особенности текста (словечко «въезд») несут за собой «молчаливую» подсказку, заставляют неверно понимать условие. На этот феномен полезно обратить внимание учеников. Важно настроить ребят на то, чтобы они критически относились к каждому слову текста задачи.
Об изменении житейских представлений…

Влияние «исходного знания» на процесс решения задач хорошо видно на примере экспериментов Л.Секея. Так, в одном из экспериментов испытуемым предлагалось решить задачу, которая требовала применения знаний, приобретенных в ходе предшествовавшего обучения. А конкретно – знания гидростатического закона Архимеда. Напомним, что, согласно этому закону, каждое тело, погруженное в жидкость, теряет столько своего веса, сколько весит вытесненная им жидкость.
Условие задачи было следующим. Представим себе маленькую, «игрушечную» тележку, стоящую на середине небольшой наклонной площадки. К краю тележки привязан шнурок, который перекинут через блок. На противоположном конце шнура закреплено металлическое грузило, частично погруженное в стеклянный сосуд с водой. Этот груз и уравновешивает «конструкцию», не позволяя тележке скатиться вниз площадки. Рядом поставлен еще один сосуд, наполовину заполненный водой; в него опущена пипетка. Участникам эксперимента предлагалось ответить на вопрос: «Как вы могли бы поднять эту тележку на 1–2 см вверх по наклонной площадке, пользуясь только пипеткой и не касаясь тележки?»
Как выяснилось, многие не смогли решить эту задачу, но зато легко справлялись с другим подобным заданием, где металлическое грузило было заменено плавающим деревянным бруском. Но ведь с точки зрения физики во втором случае ничего принципиально не изменилось: и на металлическое грузило, и на деревянный брусок действовали силы, которые подчинялись одному и тому же закону. И в первом, и во втором случае задача решалась посредством убавления воды из сосуда. Но пока металлический груз висел на шнурке, полупогруженный в воду, испытуемые не замечали никакой связи между расположением груза и уровнем воды. Им казалось, что небольшой избыток или недостаток воды не мог повлиять на положение груза. Когда же приходилось иметь дело с куском дерева, легко было видеть, что его положение обусловлено уровнем воды. Дерево плавает, металл тонет; если в данном случае последний не тонул, то, с точки зрения участников эксперимента, лишь благодаря удерживавшему его шнурку.
Как видим, здесь сказалось житейское представление о металле и дереве как о веществах, которые при погружении в воду ведут себя противоположным образом. Согласно этому представлению, всплывание и погружение тел в жидкости – это противоположные процессы, на которые невозможно повлиять с помощью одного и того же действия (убавления воды).
Примечательно, что после решения задачи с деревянным бруском некоторые участники эксперимента смогли вернуться к нерешенному первоначальному варианту задания и найти верное решение. Это значит, что у них произошло преобразование, реорганизация «исходного знания». Эти вещи следует учитывать педагогу, когда он знакомит учеников с новыми физическими явлениями и законами. Очевидно, что во многих случаях важно не только объяснить детям суть физического закона, но и проделать специальную работу по реорганизации «исходного знания».
«Лишний» элемент

Одним из неписанных правил «системы самоорганизации» являются также представления о том, что, во-первых, в задаче «все дано», то есть содержатся все необходимые для решения данные; во-вторых, все, что дано в задаче, должно быть использовано в ходе решения. Заметим, что в реальной жизни, которую призваны моделировать задачи, эти правила не соблюдаются.
В нашей экспериментальной деятельности был такой случай: стоило ввести в задачу о движущемся лифте «лишний элемент» – назвать высоту этажа, как у испытуемых возникли серьезные затруднения и с определением физического смысла решаемой задачи, и с поиском решения, в котором уда­лось бы как-то «пристроить» и этот элемент условий. Те, кто все-таки правильно решал задачу, удивлялись, зачем же дана эта самая высота.
Как видим, в представлениях уче­ников, в их исходных знаниях имеется достаточно жесткая система признаков, правил, действий, управляющая поиском решения задачи. Она возникает в ходе практики решения задач и отражает некоторые тради­ции, задаваемые самим педагогом или автором задачника. Если бы составитель и педагог не придерживались принципа «все условия, данные в задаче, должны быть использованы», то не возникло бы и соответствующего стихийного представления у учеников.
«Непонимание в квадрате»

Обычно предполагается, что учитель и ученик одинаково понимают условие задачи. Но бывает и так, что ученик не понимает, а учитель не понимает, чего же не понимает ученик. Такой случай выдающийся педагог и психолог П.Блонский назвал «непонимание в квадрате». Одна из причин такого положения может заключаться в индивидуальном содержании понятий. Говоря об этом, известный психолог В.Петухов приводит пример различного происхождения понятия «прямая». Для одного прямая – это натянутая нить, для другого – пересечение плоскостей, для третьего – воображаемая линия от глаза к точке, на которую человек смотрит. В ходе рассуждений каждый опирается на свое представление, а поэтому остается до конца не понятым другими.
Этот пример показывает, что пояснение учителя к некоторой ситуации может восприниматься школьниками по-разному. И эта разница обуславливается различием научных и житейских понятий. Тот же механизм срабатывает при изучении законов плавания тел, когда вдруг оказывается, что в сравнении с девочками мальчики «усваивают» эту тему быстрее и как-то по-другому. В чем тут дело? Мальчики «все» понимают потому, что часто возятся в воде, передвигают камни и деревянные предметы. У девочек же за всеми этими фактами, как правило, не стоит их собственный опыт. Они тоже «все» понимают, но иначе, чем мальчики.
В принципе с учениками, имеющими различные представления о понятии, и работать нужно по-разному.
Неосознанное формирование неверного исходного знания – совсем нередкое явление. Так иногда происходит с понятием «перпендикуляр». Совершенно грамотное и точное определение, которое дается в самом начале прохождения темы, затем подвергается эрозии в процессе решения задач. Свою роковую роль здесь играет слово «опускаем», которое широко употребляется в ходе решения. Во время занятий учитель и учени­ки многократно «опускают» перпенди­куляры из точки «О» на прямую MN, расположенную всегда горизонтально (школьники хорошо понимают, что речь идет об угле 90 градусов). Но почти всегда находятся ученики, которые в «критический момент» начинают «опускать» перпендикуляр и на прямую, расположенную под углом. Таким образом сформировавшееся в ходе практики «житейское» понятие определяет неадекватность исходного знания.
По примеру лучших конструкторов

Зачастую учитель ничего не говорит детям об оптимизации процесса поиска решения задач. И напрасно: чтобы помочь ученику в освоении искусства решения задач, необходимо четко развести решение и процесс его поиска. Поиск решения – это особая деятельность, для повышения эффективности которой могут применяться специальные алгоритмы и эвристические приемы.
Известно, например, что решение одной и той же задачи может быть найдено различными путями. Особенно это очевидно в отношении трудных задач. Вот эти индивидуальные пути поиска решения и есть мышление, которое, как известно, не поддается самонаблюдению. По сути, человек, решивший задачу, очень мало знает о том, как он искал решение. Для того чтобы совершенствовать это искусство поиска, можно воспользоваться простым приемом, кото­рый заключается в том, что после каждого решения трудной задачи человек старается вспомнить хотя бы некоторые моменты и обстоятельства поиска решения. Если делать это сис­тематически, то происходит постепен­ное продвижение в представлении об обстоятельствах поиска. В то же время такой самоанализ занимает совсем немного времени.
Проблема в том, что обычно подобный анализ делать не хочется. И только большое любопытство к самому процессу поиска решения да еще профессионализм помогают выполнить такую работу.
Реально очень немногие учителя имеют возможности, силы и достаточную квалификацию, чтобы работать с этими проблемами. Наиболее простой путь здесь – организовать факультатив для сильных (и желающих заниматься) школьников.
Подчеркнем: анализ результатов решения – очень важная работа. Привычка задним числом анализировать свой поиск помогает лучше усвоить случайно найденные правила поиска, да и вообще оптимизирует поиск. Например, бывает полезно не спешить с решением сформулированной и вроде бы уже понятой задачи. Сначала стоит подумать, какого рода трудность таится в задаче, какова ее природа. К сожалению, мы слишком часто торопимся воспользоваться стандартом, сформировавшимся ранее, даже в тех случаях, когда этот стандарт не годится.
На этапе анализа результатов имеет смысл намекнуть ученику, что, возможно, задача решена неверно (в случае, если на самом деле ученик нашел правильное решение). Не утверждать, что решение неверно, а намекнуть, что есть, кажется, основания сомневаться. Можно также поинтересоваться, догадывается ли он, в чем дело. Пересмотр условий и решения помогает школьнику глубже, критично отнестись к задаче. А учитель может понять, в каких моментах решения ученик не уверен. Конечно, такой прием можно практиковать лишь иногда.
Чем смазывается кристаллическая решетка?

Кроме решения задач, бывает полезно «расшатать» представление ученика о предмете, выявить нелепости в его ментальной модели, а потом совместно найти правильное понимание. Например, знает ли ученик, каким маслом надо смазывать кристаллическую решетку в железе, чтобы она не ржавела? Машинным маслом марки «Л»? Обычным подсолнечным? Пушечным салом?
Размышления на эту тему помогают школьнику понять, что же это такое – кристаллическая решетка. А для учителя ошибки учеников – это хороший материал для анализа. Только важно, чтобы ошибки школьника были не позором его, а рабочим моментом, естественным и нормальным, помогающим глубже (!) усвоить материал.